Τοπολογία στη
Παγωμένη Επιπεδόχωρα.
Νόμπελ Φυσικής
2016
Είμαστε
στο 1950 και νομίζουμε οτι ξέρουμε ολες
τις καταστάσεις της ύλης.
Εχουμε
4 “φασεις” στερεά ,υγρα,αέρια και πλάσμα
( ιονισμένα άτομα).Καί το σπουδαιότερο
ξέρουμε και τους νόμους που η ύλη περνά
από μια φάση σε μια άλλη (όπως να πούμε
τους νόμους πότε το νερό γίνεται πάγος
και πότε γίνεται αέριο)
Η
νομίζουμε οτι ξέρουμε............
Το
1982 τα πράγματα αλλάζουν με την ανακάλυψη
του κβαντικού “κλασματικού” φαινόμενου
Hall σενα
υπερπαγωμένο δυο διαστάσεων “αέριο”
ηλεκτρονίων (παρακάτω εξηγείται το
φαινόμενο Χωλ).
Ενα
νέο “παράδειγμα”χρειαζόταν στην
επιστήμη της Φυσικής.
Το
1989 ο Wen φανταστηκε
“φάσεις”(άλλες καταστάσεις της ύλης
πέρα απο τις γνωστές) όχι όμως στο επίπεδο
αλλα σε άλλες “τοπολογικές πολλαπλότητες
-“συμπαγείς” χώρους -όπως η σφαίρα και
ο τόρος ( τόρος είναι ενα σχήμα σαν το
κουλούρι με μια τρύπα)
Η
τοπολογία μελετά
ιδιότητες χώρων που δεν αλλάζουν αν
υποστούν τοπικές μετατροπές.
Ας
πούμε μπορώ να πάρω μια σφαίρα (απο
πλαστελίνη η απο ζυμάρι) να την παραμορφώσω
χωρίς να την κόψω η να τη σχίσω η να την
τρυπίσω (μονο να την πλάσω) και να φτιαξω
μια κούπα).
Η να πάρω ενα κουλούρι με μια τρύπα και να το πλάσω και να φτιάξω ενα ποτήρι με χερούλι(βλέπε εικόνα στην αρχή).
Στα
συστήματα δυο διαστάσεων, όπως τα λεπτά
ρευστά φιλμ ή τα μονοστρωματικά υλικά,
μπορούν να παρουσιαστούν εκπληκτικά
φαινόμενα, όπως ροές υγρών χωρίς τριβές
ή μη-συμβατική ηλεκτρική συμπεριφορά,
αλλά και τα μονοδιάστατα συστήματα
μπορούν να είναι εξίσου ασυνήθιστα.
Για
να εξηγήσουν αυτά τα φαινόμενα, οι
ερευνητές έχουν στραφεί στις δίνες,
στις καμπύλες επιφάνειες και σε άλλα
«τοπολογικά» αντικείμενα των οποίων
οι ιδιότητες είναι σταθερές και
ανεξάρτητες από το ειδικό υλικό που
εμπλέκεται. Τρεις
πρωτοπόροι στην ανάπτυξη τέτοιων
μοντέλων – οι David Thouless, Duncan Haldane και
Michael Kosterlitz – βραβεύθηκαν αυτή τη χρονιά
(2016)με το Nobel
για τη Φυσική.
Τώρα
το τοπολογικό πλαίσιο χρησιμοποιείται
ευρέως σε προβλεπόμενες και χαρακτηριζόμενες
νέες μορφές της ύλης, μερικές από τις
οποίες προσφέρουν τις σταθερές καταστάσεις
που θα μπορούσαν να αποθηκεύσουν
πληροφορίες για ένα
κβαντικό υπολογιστή.
Η
Microsoft,
Google και
οι ρέστοι έχουν πάρει “φωτιά”!!!
Ο
ρόλος της τοπολογίας στην φυσική
συμπυκνωμένης ύλης καθιερώθηκε στις
αρχές της δεκαετίας του 1970, όταν οι
θεωρητικοί συζητούσαν για τις φάσεις
μετάβασης σε δισδιάστατα (2D) συστήματα.
Προηγούμενη εργασία έδειξε ότι οι
συμβατικές μεταβάσεις (όπως μεταξύ
νερού και πάγου) δεν θα μπορούσαν να
συμβούν σε δυο διαστάσεις, όμως ήταν
επίσης καθαρό ότι σε τέτοια αντικείμενα,
συνέβαιναν ορισμένα είδη απότομων
αλλαγών, όπως για παράδειγμα, υγρά φιλμ
που παρουσίαζαν υπερρευστότητα κάτω
από μια κρίσιμη θερμοκρασία.
Για
να διευθετήσουν την αντιπαράθεση, ο
Kosterlitz και ο Thouless φαντάστηκαν μια νέα
μορφή της φάσης μετάβασης που βασίζεται
στους στροβίλους, στις δίνες,
και σε άλλες αποκαλούμενες τοπολογικές
ανωμαλίες. Μία δίνη είναι ένα σημείο σε
ένα μαγνητικό, για παράδειγμα, φιλμ,
γύρω από το οποίο τα μαγνητικά σπιν των
ατόμων προσανατολίζονται σε μια
κατεύθυνση κατά τη φορά κίνησης των
δεικτών του ωρολογίου (προσανατολισμός
σε κατεύθυνση αντίθετη από την φορά
κίνησης των δεικτών αποκαλείται
αντι-δίνη).
Αυτό
το αντικείμενο μπορεί να είναι αρκετά
εύρωστο. «Μόλις διαμορφωθεί μια δίνη
είναι πολύ δύσκολο να απαλλαγείς από
αυτή».
Σε
υψηλή θερμοκρασία, δίνες και αντι-δίνες
είναι πολυάριθμες και τα σπιν είναι
ακατάστατα, χαοτικά. Ωστόσο οι Kosterlitz
και Thouless, έδειξαν ότι σε χαμηλές
θερμοκρασίες, οι δίνες ζευγαρώνουν
με αντι-δίνες, μερικώς ακυρώνοντας την
επίδρασή τους.
Ως
αποτέλεσμα, τα σπιν σε όλο το δισδιάστατο
υλικό είναι δυνατό σε κάποιο βαθμό να
ευθυγραμμίζονται μεταξύ τους.
Η
ευθυγράμμιση αυτή είναι μια μορφή
«τοπολογικής τάξης» που ισχύει γενικότερα
σε δισδιάστατα συστήματα ατόμων (ή
ηλεκτρονίων) τα οποία ευθυγραμμίζουν
μια πλευρά των κβαντικών τους καταστάσεων
– τις κβαντομηχανικές τους φάσεις. Ως
τέτοια, η μετάβαση Kosterlitz-Thouless (KT) εξηγεί
την ανάδυση και της υπερρευστότητας
και της υπεραγωγιμότητας σε δυο
διαστάσεις.
Μια
δεκαετία αργότερα, ο Thouless και οι συνεργάτες
του και πάλι στράφηκαν στην τοπολογική
επιχειρηματολογία για την εξήγηση του
κβαντικού φαινομένου Hall (QHE) που
ανακαλύφθηκε το 1980.
Το
QHE είναι, όπως και το κλασικό φαινόμενο
Hall, μια επαγόμενη διαφορά δυναμικού σε
ένα ρευματοφόρο αγωγό που βρίσκεται
μέσα σε μαγνητικό πεδίο. Στην κβαντική
περίπτωση, ωστόσο, ο αγωγός είναι
περιορισμένος σε δυο διαστάσεις.
Όταν
το ρεύμα ρέει κατά μια κατεύθυνση (ας
πούμε βορράς – νότος) δια μέσου του
αγωγού, μετριέται μια εγκάρσια (ανατολή
– δύση) διαφορά δυναμικού. Περιέργως,
καθώς το μαγνητικό πεδίο αυξάνεται
βαθμιαία, ο λόγος του ρεύματος προς τη
διαφορά δυναμικού (αποκαλείται αγωγιμότητα
Hall) αυξάνεται με
διακριτά
άλματα.
Οι
τιμές είναι ακέραια πολλαπλάσια μιας
στοιχειώδους μονάδας αγωγιμότητας. Η
κβάντωση
αυτή δεν εξαρτάται από τον τύπο του
υλικού ή από το εάν περιέχει οποιεσδήποτε
ατέλειες ή προσμίξεις. «Θα περιμένατε
ότι ρίχνοντας «βρωμιά» μέσα στο σύστημα
θα οδηγούσε στην εξαφάνιση του φαινομένου,
αλλά αυτό δεν συμβαίνει».
Για
να εξηγήσει αυτή την ευρωστία, η ομάδα
του Thouless μελέτησε όλες τις κυματοσυναρτήσεις
που μπορούν να περιγράψουν ηλεκτρόνια
σε δισδιάστατα υλικά και αναπαράστησε
αυτό το σύνολο των πιθανοτήτων με μια
καμπυλωμένη επιφάνεια.
Το
σχήμα αυτής της επιφάνειας μπορεί να
χαρακτηριστεί από ένα αριθμό, που
ονομάζεται τοπολογικό αναλλοίωτο, ο
οποίος έχει κάποια σταθερότητα, όπως
οι δίνες στην μετάβαση KT. Ένα κοινό
παράδειγμα για ένα τοπολογικό αναλλοίωτο
είναι ο
αριθμός των οπών σε ένα αντικείμενο,
όπως ένα κουλούρι ή ένα πρέτσελ(κουλούρι
με 3 τρύπες).
Μπορείς
να παραμορφώσεις ένα πρέτσελ λίγο, αλλά
ο αριθμός των οπών δεν αλλάζει. Είναι
σίγουρο ότι με ορισμένες ενέργειες
μπορείς να τρυπήσεις ή να κόψεις το
πρέτσελ για να κάνεις περισσότερες ή
λιγότερες τρύπες, αλλά οι τρύπες μετράνε
πάντα τις αλλαγές με άλματα κατά ένα
ακέραιο ποσό (τι να κάνουμε δεν υπάρχουν
μισές τρύπες).
Ο
Thouless και οι συνεργάτες του έδειξαν ότι
τα τοπολογικά αναλλοίωτα που παρήγαγαν
σχετίζονταν με τους ακεραίους που
χαρακτήριζαν τα βήματα αγωγιμότητας
Hall. Το αποτέλεσμα αυτό αιτιολογούσε την
κβάντωση και επίσης εξηγούσε γιατί το
QHE είναι τόσο εύρωστο: μικρές αλλαγές
στο υλικό μπορούν να επηρεάσουν το
σύνολο των κυματοσυναρτήσεων του
ηλεκτρονίου, αλλά το τοπολογικό
αναλλοίωτο
που περιγράφει το σύνολο είναι πολύ
δυσκολότερο να αλλάξει.
Η
ιδέα ότι η τοπολογία
θα
μπορούσε να χρησιμοποιηθεί για να
χαρακτηρίσει τη φάση της ύλης
χρησιμοποιήθηκε επίσης από τον Haldane
στην εργασία του στις αλυσίδες σπιν –
μονοδιάστατα συστήματα από συζευγμένα
άτομα που διαμορφώνονται σε μαγνητικά
υλικά.
«Οι
εργασίες αυτές ξεκίνησαν μια τάση, που
είναι απολύτως κυρίαρχη τώρα, κατά την
οποία μπορείς να χαρακτηρίσεις ύλη με
τοπολογικό
αναλλοίωτο και
να μην νοιάζεσαι για τις μικρές
λεπτομέρειες».
Το
πλέον κυρίαρχο παράδειγμα αυτής της
τάσης είναι το πεδίο των τοπολογικών
μονωτών – υλικά τα οποία άγουν τον
ηλεκτρισμό μόνο στην επιφάνειά τους.
Αυτά τα ρεύματα επιφάνειας περιγράφονται
ως «προστατευμένα» με την τοπολογία
από ατέλειες κατά μήκος της επιφάνειας,
που κανονικά θα ανάγκαζε τα ηλεκτρόνια
να διασκορπίζονται.
Στην
πράξη, η μαθηματική εξήγηση ανοίγει τον
δρόμο για την ανακάλυψη κι άλλων
ασυνήθιστων ιδιοτήτων στο βασίλειο του
ψύχους, μια αναζήτηση που συνεχίζεται
σε εργαστήρια σε όλον τον κόσμο. Η μεγάλη
ελπίδα είναι ότι οι παράξενες τοπολογικές
φάσεις της ύλης θα αξιοποιηθούν σε
εξαρτήματα για την επανάσταση των
κβαντικών υπολογιστών ή ακόμα και σε
υπεραγωγούς υψηλής θερμοκρασίας για
δίκτυα ηλεκτροδότησης χωρίς απώλειες.
Φανταστείτε
μια δραστική μείωση στον λογαριασμό
της ΔΕΗ. Αυτό κι αν θα ήταν παράξενο!
Σύντομα
θάχουμε τετοια υλικά!
Να
που οι Φυσικοί χρειάστηκε να χρησιμοποιήσουν
την Τοπολογία (κλάδο των Μαθηματικών)
για να εξηγήσουν τι συμβαίνει εκεί στον
Παγωμένο Κόσμο (κοντά στο απόλυτο ΜΗΔΕΝ
-273 βαθμούς Κελσιου) στην Επιπεδόχωρα
της Υλης.
Ειναι
σαν τα Μαθηματικά να υπάρχουν εκεί έξω
“καθεαυτά” (όπως έλεγε ο Γερο-Πλάτωνας)
και εμείς απλά τα ανακαλύπτουμε......