Μαθηματικά και Μουσική

       Μαθηματικά και μουσική

Στήλη Σείκιλου(2ος π.χ-1ος μ.χ)

                                      (Όσο ζεις λάμψε, καθόλου μη λυπάσαι. Για λίγο διαρκεί η ζωή, ο χρόνος καθορίζει το τέλος ). 

Να μια Αρχαία παρτιτούρα ο "επιτάφειος του Σείκιλου" γραμμένη σε μαρμάρινη στήλη που βρέθηκε στις Τράλλεις(Μ.Ασία).

Ο Παυσανίας αναφέρει ότι ο Πυθαγόρας ήθελε την ουσία του παντός «δια µουσικής συγκειµένην» τα πάντα είναι μουσική δηλαδή.

Οι Πυθαγόρειοι διαπίστωσαν ότι όταν δυο ήχοι “συσχετίζονται” και προξενούν ευχάριστο άκουσμα τότε τα αντίστοιχα μήκη των χορδών τους έχουν σχέση πρώτων αριθμών. Οι ήχοι αυτοί ονομάζονται αρμονικοί. Χάρη σε αυτούς τους πειραματισμούς ,οι Πυθαγόρειοι, κατάφεραν να εδραιώσουν ένα μαθηματικό μοντέλο για τη φυσική συμπεριφορά των ήχων και της μουσικής. Μπορεί να μην βρήκαν την φυσική εξήγηση του φαινομένου, το μαθηματικό τους όμως μοντέλο λειτουργούσε περίφημα. Εξάλλου δεν είναι η πρώτη φορά που η ανθρωπότητα διατυπώνει ένα μαθηματικό μοντέλο , τόσο τέλειο που αναγορεύεται σε φυσικό νόμο, χωρίς όμως να γνωρίζει τα βαθύτερα αίτια αυτής της συμπεριφοράς(π.χ Πτολεμαίος).

Οι Πυθαγόρειοι όµως δεν διέκριναν απλά συµφωνίες ανάµεσα στους αριθµούς, τη µουσική και τον κόσµο. Τις αναγνώρισαν και τους έδωσαν αυτή την ταυτότητα..

Η µουσική ήταν αριθµός και ο κόσµος µουσική .

Λοιπόν πάμε τώρα στους πιο απλούς αριθμούς :

1,2,3,4. Και 1+2+3+4=10

Επειδή το 10 προκύπτει από το άθροισμα των τεσσάρων πρώτων αριθμών 1+2+3+4=10, του έδωσαν το όνομα «τετρακτύς». Κατά τους Πυθαγόρειους υπάρχουν έντεκα τετρακτύες που η κάθε μια εκφράζει ένα τομέα της φιλοσοφικής σκέψης στην αρχαιότητα. Παράδειγμα η 4η τετρακτύς δηλώνει τα τέσσερα απλά στοιχεία φωτιά, αέρα, νερό και γη, η 6η αναφέρεται στα γεωμετρικά σχήματα: με 1 εκφράζεται το σημείο, με 2 το μήκος, με 3 η επιφάνεια και με 4 το στερεό, η 8η δίνει τα συστατικά του ζώου: τα 1,2,3 αντιστοιχούν με το λογιστικό, το θυμικό και το επιθυμητικό, δηλαδή εκφράζουν την ψυχή, ενώ το 4 το σώμα.

 Η μουσική κλίμακα του Πυθαγόρα κατασκευάζεται με βάση τις αναλογίες του κύβου, ο οποίος εκφράζεται με τον αριθμό 4 της 5ης τετρακτύος (1 = τετράεδρο, 2 = οκτάεδρο, 3 = εικοσάεδρο, 4 = κύβος) και συμβολίζει τη γη και το συνδυασμό των στοιχείων της. Ο κύβος έχει 6 έδρες, 8 κορυφές και 12 ακμές. Οι αριθμοί 12 και 6 δίνουν την αναλογία 2/1, οι 8 και 6 την αναλογία 4/3 ενώ οι 12 και 8 την αναλογία 3/2. Επίσης ο αριθμός 8 είναι το αρμονικό μέσο των 6 και 12, ενώ το αριθμητικό μέσο των αριθμών αυτών είναι ο 9.

Ο αρμονικός και αριθμητικός μέσος δίνουν την αναλογία 9/8. Έτσι προκύπτουν οι μαθηματικές αναλογίες βάση των οποίων κατασκευάζεται η μουσική κλίμακα κατά τους Πυθαγόρειους. Οι αναλογίες αυτές αποδείχθηκαν και στην πράξη από τα πειράματα που έκανε ο Πυθαγόρας  πάνω στο μονόχορδο το οποίο διαίρεσε σε 12 ίσα τμήματα (όσες και οι ακμές του κύβου). 

                                                                  ΜΟΝΟΧΟΡΔΟ

Οι ταλαντώσεις της µισής χορδής αποτελούν το διάστηµα της «οκτάβας» µε λόγο συχνότητας (2:1).

Οι ταλαντώσεις των δύο τρίτων της χορδής δίνουν το διάστηµα της «καθαρής»- «τέλειας» πέµπτης µε λόγο (3:2) και των τριών τετάρτων της χορδής το διάστηµα της «καθαρής» τετάρτης µα λόγο (4:3).

Έτσι, η µουσική σχέση που έχουµε κληρονοµήσει από τους Αρχαίους Έλληνες µπορεί να εκφραστεί µαθηµατικά ως 1:2:3:4.

Οι Πυθαγόρειοι λοιπόν κατάφεραν να αναγάγουν τη µουσική σε απλές σχέσεις ανάµεσα σε αριθµούς όταν ανακάλυψαν δύο γεγονότα:

Πρώτο πως ο ήχος που παράγεται από µια τεντωµένη χορδή, εξαρτάται από το µήκος αυτής της χορδής και δεύτερο πως οι ήχοι που είναι αρµονικοί µεταξύ τους, παράγονται από χορδές που τα µήκη τους έχουν µεταξύ τους λόγους ακέραιων αριθµών.

Ξεχωριστή όµως σπουδαιότητα στη µελωδία και την αρµονία έχουν και τα δύο πιο “σύµφωνα” διαστήµατα µετά την οκτάβα, εκείνα δηλαδή που ανταποκρίνονται στους λόγους ταλάντευσης 3:2 και 4:3, τα διαστήµατα της «καθαρής» πέµπτης και τετάρτης αντίστοιχα, και τα οποία όταν προστεθούν µαζί διαµορφώνουν ακριβώς µια οκτάβα. Η µαθηµατική πλευρά όλων αυτών είναι 3/2*4/3=2/1, αφού η πρόσθεση δύο διαστηµάτων ισοδυναµεί µε τον πολλαπλασιασµό των λόγων τους .

Ο ήχος ανάµεσα στην τετάρτη και την πέµπτη είναι απλά η αναγνώριση του γεγονότος ότι αυτά τα δύο διαστήµατα χωρίζονται από µια ολόκληρη “βαθµίδα”, τον τόνο, ένα διάστηµα που εκφράζεται µε το λόγο 9:8 και αυτοί οι δύο φθόγγοι σαν διάστηµα είναι διάφωνοι (παναπεί παράφωνοι).

Οι Έλληνες λοιπόν συγγραφείς ορίζουν τον τόνο, που τον λέγανε “επόγδοο” ως το διάστηµα κατά το οποίο µια πέµπτη είναι µεγαλύτερη από µια τετάρτη και το διάστηµα αυτό δίνεται από το λόγο 9:8

Ας επιστρέψουµε όµως στους µαθηµατικούς λόγους των µουσικών διαστηµάτων και να δούµε πως αυτοί εξελίσσονται. Καταρχήν είδαµε ότι άµα έχουµε µια νότα και ανέβουµε κατά µια οκτάβα, η συχνότητα της διπλασιάζεται. Ξέρουµε επίσης ότι οι αναλογίες των διαστηµάτων πρέπει να είναι ή “επιµόριοι”, δηλαδή x:(x+1) ή πολλαπλάσιοι, δηλαδή x:2x, x:3x κ.ο.κ. Οι αναλογίες των κυριότερων διαστηµάτων όπως τις γνωρίσαµε πιο πάνω είναι: 9:8 τόνος, 4:3 τετάρτη, 3:2 πέµπτη, 2:1 ογδόη. Οι Έλληνες έδωσαν στην οκτάβα και µια κυκλική ιδιότητα όπου 1:2=οκτάβα 2:3=πέµπτη 3:4=τετάρτη 4:5=µεγάλη τρίτη 5:6=µικρή τρίτη, διαστήµατα που έχουν όλα τη σηµασία τους στη δηµιουργία µιας συγχορδίας .

Αριθμητικος μέσος όρος και αρμονικός μέσος ορος:

                                                               όπου α=1 και γ=1/2

Οι πρακτικές ανάγκες της µουσικής οδήγησαν στη συνέχεια τους µουσικούς της Δύσης, µα πρωταγωνιστή τον Johan Sebastian Bach, στην κατασκευή µιας τεχνητής, της λεγόµενης “συγκερασµένης” κλίµακας η οποία απαρτίζεται από 12 ίσα ηµιτόνια.

Η απλούστευση στην παράσταση των μουσικών διαστημάτων επήλθε με τη βοήθεια της λογαριθμικής σχέσης
μέγεθος μουσικού διαστήματος = k * log(f2/f1)/log2
στην παραπάνω σχέση, όπου f1, f2 οι συχνότητες των φθόγγων του μουσικού διαστήματος και f2>f1. Το k είναι μια σταθερά η τιμή της οποίας καθορίζει και ένα σύστημα μονάδων μουσικών διαστημάτων.
Συγκερασμοί για τα μουσικά διαστήματα
Ανάλογα με τις τιμές της σταθεράς k (οι οποίες αφορούν διαίρεση της οκτάβας σε τόσα τμήματα όσο η αντίστοιχη τιμή), έχουμε κι ένα σύστημα μονάδων μουσικών διαστημάτων. Οι πιο γνωστές και χαρακτηριστικές τιμές της σταθεράς k, αναφέρονται στη συνέχεια.

ΤΙΜΗ ΣΤΑΘΕΡΑΣ k ΟΝΟΜΑΣΙΑ ΜΟΝΑΔΑΣ ΤΩΝ ΜΟΥΣΙΚΩΝ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ
12 .................Συγκερασμένο Ευρωπαϊκό ημιτόνιο
53 .................κόμμα του Μερκάτορα
68 .................Αραβική μονάδα, βυζαντινό ηχομόριο
72 .................Βυζαντινό ηχομόριο
301 ...............Savart
665 ...............Delfi unit
1200 ..............cent

Βασιζόµενοι λοιπόν στο λόγο της οκτάβας 1:2 θα πρέπει να βρούµε το λόγο του ηµιτόνιου. Κι αφού σε µια οκτάβα υπάρχουν 12 ηµιτόνια, έστω ο λόγος του ηµιτόνιου το r, τότε έχουµε τη σχέση r ^12=2, τότε r =2^1/12 Πριν ορίσαµε τον τόνο ως το διάστηµα που έχει λόγο 9/8=1.125. Αν πάρουµε δύο ηµιτόνια = 2^1/12x2^1/12=2^1/6=1.225, έχουµε δηλαδή στη νέα κλίµακα απόκλιση ίση µε 0,1.

Ο πίνακας μας δείχνει τις συχνότητες που έχουν οι νότες και η δεύτερη γραμμή μας λέει οτι αν το ντο είναι 1 τότε το ρε προκύπτει απο το ντο με πολλαπλασιασμό επι 9/8 το μι απο το ρε με πολλαπλασιασμο της συχνότητας του ρε επι 9/8 και πάει λέγοντας.

 Τι είναι όμως αυτό που κάνει τις νότες να ακούγονται αρμονικά ή παράφωνα όταν ηχούν συγχρόνως; Όλο το μυστικό βρίσκεται στις αρμονικές.

Μαζί με την παραγωγή της κύριας νότας με ένα οργανό παραγονται συγχρόνως και αλλες αρμονικές παναπεί και αλλες ιδιες νότες αλλα σε άλλες οκτάβες (πολλαπλάσια της νότας).

Οι νότες που ηχούν ευχάριστα στ' αυτί μας παράγουν αρμονικές που οι συχνότητές τους συμπίπτουν σε μεγάλο βαθμό. Να ένα παράδειγμα:Η Ντο αντιστοιχεί στη συχνότητα 261,6 και η Σολ στη 392 Hz.

1η	261,6	Ντο		392		Σολ
Αρμονικές				Αρμονικές
2η	523,2	3η	784,8	2η	784	4η	1568
4η	1046,4	6η	1569,6	8η	3139	10η	3924
8η	2092,8	12η	3139,2	12η	4708	16η	6272
15η	3924	18η	4708	20η	7844
24η	6272	30η	7844

Ετσι ο Πυθαγόρας δεν μας χάρισε μόνο το Πυθαγόρειο θεώρημα αλλά και τη Θεωρία της μουσικής αρμονίας.