ΤΩ ΧΡΗΣΤΩ (2)
Επανέρχομαι για να αναπτύξω την κατασκευή που έδωσα αναπόδεικτη και την οποία θεωρώ πιο εύκολη και κατανοητή.
Ζητείται να κατασκευάσω σημεία P, Q,επί της Οχ τέτοια ώστε PF=PE (με PE κάθετο στην Οψ) και QF=QH (με QH κάθετο στην Οψ).
Η κατασκευή έχει ως εξής:
1) Φέρω την FO
2)Από τυχόν σημείο επί της Οχ έστω Α φέρω κάθετο στην Οψ και έστω G το σημείο τομής με την Οψ.
3)Κατασκευάζω κύκλο με κεντρο το Α και ακτίνα AG που εφάπτεται στην Οψ.
Εστωσαν C,B,τα σημεία τομής του κύκλου με την FO
4)Φέρω τις χορδές ΑC και ΑB
5)Φέρω FQ παράλληλη στην AC και FP παράλληλη στην AC
6)Φέρω καθέτους από τα σημεία P,Q προς την Οψ που την τέμνουν στα σημεία Ε και Η αντίστοιχα
ΤΑ σημεία P και Q είναι η λύση που ζητείται.
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Αρκεί να αποδείξω οτι FQ =QH(a) και FP=PE(b).
Θα απόδείξω το (a) μόνο.
Από τα όμοια τρίγωνα ΟΑG και OQH προκύπτει οτι:AG/QH=OA/OQ(1)
Από τα όμοια τρίγωναOAC και OQF προκύπτει οτι:AC/QF=OA/OQ(2)
Από την (1) και (2) προκύπτει οτι: AG/QH=AC/QF.(3)
Μετασχηματίζω την (3)AG/AC=QH/QF.
Αλλά ξέρω οτι AG=AC οπότε AG/AC =1 και τα συνέπεια QH/QF=1 η αλλιώς
QH=QF που είναι το ζητούμενο.
Ιδια είναι και η απόδειξη για το σημείο P
Επομένως κατασκευάσθηκαν σημεία P,Q, επί της Οχ τέτοια ώστε PE =PF και QH=QF.
Στο σχήμα έχω κατά προσέγγιση κατασκευάσει και την ΠΑΡΑΒΟΛΗ με εστία το σημείο F και διευθετούσα την ευθεία Οψ.
