ΤΩ ΧΡΗΣΤΩ

 ΤΩ ΧΡΗΣΤΩ (2)

Επανέρχομαι  για να αναπτύξω την κατασκευή που έδωσα αναπόδεικτη και την οποία θεωρώ πιο εύκολη και κατανοητή.

Ζητείται να κατασκευάσω σημεία P, Q,επί της Οχ τέτοια ώστε PF=PE (με PE  κάθετο στην Οψ) και QF=QH (με QH κάθετο στην Οψ).

Η κατασκευή έχει ως εξής:

1) Φέρω την FO

2)Από τυχόν σημείο επί της Οχ έστω Α φέρω κάθετο στην Οψ και έστω G  το σημείο τομής  με την Οψ.

3)Κατασκευάζω κύκλο με κεντρο το Α και ακτίνα AG που εφάπτεται στην Οψ.

Εστωσαν C,B,τα σημεία τομής του κύκλου με την FO

4)Φέρω τις χορδές ΑC και ΑB

5)Φέρω FQ παράλληλη στην AC και FP παράλληλη στην AC

6)Φέρω καθέτους από τα σημεία P,Q προς την Οψ που την τέμνουν στα σημεία Ε και Η αντίστοιχα

ΤΑ σημεία P και Q είναι η λύση που ζητείται.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Αρκεί να αποδείξω οτι FQ =QH(a) και FP=PE(b).

Θα απόδείξω το (a) μόνο.

Από τα όμοια τρίγωνα ΟΑG και OQH προκύπτει οτι:AG/QH=OA/OQ(1)

Από τα όμοια τρίγωναOAC και OQF προκύπτει οτι:AC/QF=OA/OQ(2)

Από την (1) και (2) προκύπτει οτι: AG/QH=AC/QF.(3)

Μετασχηματίζω την (3)AG/AC=QH/QF.

Αλλά ξέρω οτι AG=AC οπότε AG/AC =1 και τα συνέπεια QH/QF=1 η αλλιώς 

QH=QF που είναι το ζητούμενο.

Ιδια είναι και η απόδειξη για το σημείο P

Επομένως κατασκευάσθηκαν σημεία P,Q, επί της Οχ τέτοια ώστε PE =PF και QH=QF.

Στο σχήμα έχω κατά προσέγγιση κατασκευάσει και την ΠΑΡΑΒΟΛΗ με εστία το  σημείο F και διευθετούσα την ευθεία Οψ.

ΤΩ, ΧΡΗΣΤΩ,

 Ολο και κάτι( όλοι μας )  έχουμε ακούσει(η και διαβάσει) για τον Ευκλείδη η για τον Αρχιμήδη αλλά για τον Απολλώνιο τον Περγαίο ελάχιστα γνωρίζουμε.

Και μόνο για τα Βιβλία του "Κωνικα" αρκεί για να καταταγεί στους μεγάλους γεωμέτρες και πατέρας της Αναλυτικής Γεωμετρίας.

Η αναφορά μου στον Απολλώνιο έγινε γιατί φίλος τις έθεσε ένα πρόβλημα Γεωμετρικής κατασκευής που για τον Απολλώνιο μπορεί να είταν "πασατέμπος" για να περνάει η ώρα  αλλά για μας μπορεί να φαίνεται Βουνό.

Αλλά ας περάσουμε στην εκφώνηση του προβλήματος:

Δίδεται γωνία χΟψ και σημείο F στο εσωτερικό της γωνίας.Να βρεθεί σημείο P1 επί της πλευράς Οχ τέτοιο ώστε αν φέρουμε κάθετο από το P1 προς την πλευρά Οψ που την τέμνει στο σημείο Τ1 τότε να ισχύει( P1F)=(P1T1).

Από ορισμό της Παραβολής προκύπτει οτι το ζητούμενο σημείο P1 είναι σημείο Παραβολής που έχει εστία το σημείο F και "διευθετούσα" την πλευρά της γωνίας Οψ.

Επειδή (P1F)=(P1T1) το P1είναι κέντρο κύκλου επί της πλευράς Οχ και που είναι εφαπτόμενος στην Οψ.

Αλλά με 2 πληροφορίες δεν ορίζεται ο κύκλος .Θέλουμε και άλλο ένα σημείο του.

Το σημείο που μας λείπει ειναι το F΄ που είναι το συμμετρικό του F ως προς την Οχ.Η FF΄ τέμνει την Οχ στο σημείο C.

Τα υπόλοιπα ως προς την κατασκευή τα παρουσιάζω στην παρακάτω εικόνα

Είναι προφανές οτι υπάρχει και άλλο ένα σημείο που η παραβολή τέμναι την Οχ,το σημείο T2.

Τώρα και χωρίς απόδειξη δίνω και μια εύκολη κατασκευή που πάλι την παρουσιάζω σε εικόνα

Ισως ο Απολλώνιος να "γελάει" με τις δυσκολίες μας αλλά τέτοιος είταν πάντα. Είρωνας ,ματαιόδοξος αφού ακόμη και τον Ευκλείδη προσπαθούσε να τον διορθώσει.Ειταν όμως Μεγάλος.

Αυστηρά Ακατάλληλο για όσους απεχθάνονται τα Μαθηματικά

 Το απλό είναι το πιο δύσκολο